4. Докажите, что уравнение 3x¹⁰ − 4x⁷ − 2x³ + x² + 3 = 0 не имеет отрицательных корней.

Пусть x — отрицательный корень. Тогда можно записать x = −t, где t > 0.

Подставим x = −t в левую часть уравнения:

3(−t)¹⁰ − 4(−t)⁷ − 2(−t)³ + (−t)² + 3 = 3t¹⁰ + 4t⁷ + 2t³ + t² + 3.

При t > 0 каждое слагаемое положительно, поэтому их сумма положительна и не может равняться нулю. Получили противоречие.

Ответ: уравнение не имеет отрицательных корней.