4. Докажите неравенство: 1) a² − 6a + 10 > 0; 2) 12y − 4y² − 11 < 0; 3) a(a − 8) > 2(a − 13); 4) x² + 4y² + 6x + 4y + 10 ≥ 0; 5) x² − 10xy + 26y² + 12y + 40 > 0.

Выделим полный квадрат:

\[a^2-6a+10=(a-3)^2+1>0.\]

\[12y-4y^2-11=-(2y-3)^2-2<0.\]

Перенесём всё в левую часть:

\[a(a-8)-2(a-13)=a^2-10a+26=(a-5)^2+1>0.\]

Следовательно, \(a(a-8)>2(a-13)\).

Сгруппируем слагаемые:

\[x^2+4y^2+6x+4y+10=(x+3)^2+(2y+1)^2.\]

Сумма квадратов неотрицательна, поэтому выражение \(\ge 0\).

Выделим полные квадраты:

\[x^2-10xy+26y^2+12y+40=(x-5y)^2+(y+6)^2+4>0.\]