4. Докажите тождество: (0,25a⁶ − 16)/(0,2a³ − 25) · (0,2a² + a + 5)/(0,25a⁴ + a + 4) · (a − 5)/(a² − 4) = 1.

Разложим многочлены на множители:

\[0.25a^6-16=\frac{(a-2)(a+2)(a^2+2a+4)(a^2-2a+4)}{4},\quad 0.2a^3-25=\frac{(a-5)(a^2+5a+25)}{5}.\]

\[0.2a^2+a+5=\frac{a^2+5a+25}{5},\quad 0.25a^4+a+4=\frac{(a^2+2a+4)(a^2-2a+4)}{4},\quad a^2-4=(a-2)(a+2).\]

Подставим разложения в исходное выражение и сократим общие множители:

\[\frac{\frac{(a-2)(a+2)(a^2+2a+4)(a^2-2a+4)}4}{\frac{(a-5)(a^2+5a+25)}5}\cdot\frac{\frac{a^2+5a+25}5}{\frac{(a^2+2a+4)(a^2-2a+4)}4}\cdot\frac{a-5}{(a-2)(a+2)}=1.\]

Исходное выражение определено при \(a\ne -2,\ 2,\ 5\). При этих значениях выражение равно 1.