4. Докажите тождество: ((8−0,5y⁴)/(4+0,5y³))·((0,5y²−y+2)/(0,5y²+2))·1/(2−y)=1.

Область допустимых значений: знаменатели исходного выражения не равны нулю, поэтому \(y\ne-2\) и \(y\ne2\).

Разложим числители и знаменатели на множители:

\(8-0.5y^4=0.5(2-y)(2+y)(y^2+4)\),

\(4+0.5y^3=0.5(y+2)(y^2-2y+4)\),

\(0.5y^2-y+2=0.5(y^2-2y+4),\quad 0.5y^2+2=0.5(y^2+4)\).

Подставим разложения и сократим общие множители:

\(\frac{0.5(2-y)(y+2)(y^2+4)}{0.5(y+2)(y^2-2y+4)}\cdot\frac{0.5(y^2-2y+4)}{0.5(y^2+4)}\cdot\frac{1}{2-y}=1\).

Тождество доказано при \(y\ne-2\) и \(y\ne2\).