4. Дополнительные задания. 1) Найдите НОД (48, 180) и НОК (48, 180). 2) Известно, что НОД (a, b) = 6, а НОК (a, b) = 72. Чему равно произведение a · b? 3) Найдите два натуральных числа, НОД которых равен 8, а НОК — 120. 4) Верно ли утверждение: если НОД (a, b) = 1, то НОК (a, b) = a · b? Объясните свой ответ и приведите пример.

Разложим числа на простые множители: 48 = 2⁴ · 3, 180 = 2² · 3² · 5. Тогда НОД равен произведению общих множителей в наименьших степенях: 2² · 3 = 12. НОК равен произведению простых множителей в наибольших степенях: 2⁴ · 3² · 5 = 720.

Для натуральных чисел выполняется равенство НОД(a, b) · НОК(a, b) = a · b. Поэтому a · b = 6 · 72 = 432.

Пусть числа равны 8x и 8y, где НОД(x, y) = 1. Их НОК равен 8xy, значит, 8xy = 120 и xy = 15. Подходящая взаимно простая пара — 3 и 5. Следовательно, искомые числа: 8 · 3 = 24 и 8 · 5 = 40. Проверка: НОД(24, 40) = 8, НОК(24, 40) = 120.

Утверждение верно: для натуральных чисел НОД(a, b) · НОК(a, b) = a · b. Если НОД(a, b) = 1, то НОК(a, b) = a · b. Например, НОД(3, 4) = 1, а НОК(3, 4) = 12 = 3 · 4.