№4. ДРКТ — равнобедренный, в него вписана окружность, РК = РТ. 1) РН = 6,6 см, ТН = 3,4 см. Найдите РДРКТ. 2) РДРКТ = 26 см, РН = 5 см. Найдите длину основания КТ.

Решение:

Часть 1: Найдите РДРКТ.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Окружность касается основания КТ в точке Н.

Так как ДРКТ равнобедренный, то РН — высота и медиана. Следовательно, КН = ТН = 3,4 см.

Основание КТ = КН + ТН = 3,4 + 3,4 = 6,8 см.

Периметр ДРКТ равен сумме длин всех его сторон: РДРКТ = РК + РТ + КТ.

Так как РК = РТ, то РДРКТ = 2 * РК + КТ.

В прямоугольном треугольнике ДРН (угол Н = 90°), по теореме Пифагора: \( РК^2 = РН^2 + КН^2 \).

\( РК^2 = (6,6)^2 + (3,4)^2 = 43,56 + 11,56 = 55,12 \)

\( РК = \sqrt{55,12} \approx 7,42 \) см.

РДРКТ = 2 * 7,42 + 6,8 = 14,84 + 6,8 = 21,64 см.

Ответ (Часть 1): Периметр ДРКТ равен приблизительно 21,64 см.

Часть 2: Найдите длину основания КТ.

Дано: РДРКТ = 26 см, РН = 5 см.

Так как ДРКТ — равнобедренный треугольник, то РК = РТ.

Периметр РДРКТ = РК + РТ + КТ = 2 * РК + КТ = 26 см.

В равнобедренном треугольнике высота РН является медианой, поэтому КН = ТН = КТ / 2.

В прямоугольном треугольнике ДРН (угол Н = 90°), по теореме Пифагора: \( РК^2 = РН^2 + КН^2 \).

Подставим РН = 5 и КН = КТ/2:

\( РК^2 = 5^2 + (\frac{КТ}{2})^2 = 25 + \frac{КТ^2}{4} \).

Из уравнения периметра выразим РК: \( 2 * РК = 26 - КТ \), значит \( РК = \frac{26 - КТ}{2} = 13 - \frac{КТ}{2} \).

Теперь подставим это в уравнение Пифагора:

\( (13 - \frac{КТ}{2})^2 = 25 + \frac{КТ^2}{4} \)

\( 169 - 13 \cdot КТ + \frac{КТ^2}{4} = 25 + \frac{КТ^2}{4} \)

\( 169 - 13 \cdot КТ = 25 \)

\( 13 \cdot КТ = 169 - 25 \)

\( 13 \cdot КТ = 144 \)

\( КТ = \frac{144}{13} \) см.

Ответ (Часть 2): Длина основания КТ равна \( \frac{144}{13} \) см.