№3. ДАВС равносторонний. Найдите по рисунку радиус вписанной окружности, если OB = 9.

Решение:

В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности совпадает с центром описанной окружности и является точкой пересечения медиан, биссектрис и высот.

Точка О — центр окружности. OB — радиус описанной окружности, так как B — вершина треугольника, а О — центр окружности.

В равностороннем треугольнике медиана, высота и биссектриса, проведенные из одной вершины, делятся точкой пересечения (центром) в отношении 2:1, считая от вершины.

OB — это 2 части, а радиус вписанной окружности (расстояние от О до стороны АС, обозначим его как OH) — это 1 часть.

По условию, OB = 9.

Так как OB относится к OH как 2:1, то \( OH = \frac{OB}{2} \).

\( OH = \frac{9}{2} = 4.5 \) см.

Радиус вписанной окружности равен OH.

Ответ: 4,5 см.