4) f(x) = (x²-8x) / (x+1)

Решение:

Это дробно-рациональная функция. Для исследования функции (например, нахождения производной, точек экстремума, асимптот) необходимо выполнить соответствующие математические операции.

Пример: Найти производную функции:

Используем правило дифференцирования частного: \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

Здесь \( u = x^2-8x \) и \( v = x+1 \).

Находим производные \( u' \) и \( v' \):

\( u' = 2x-8 \)

\( v' = 1 \)

Подставляем в формулу:

\( f'(x) = \frac{(2x-8)(x+1) - (x^2-8x)(1)}{(x+1)^2} \)

Упрощаем числитель:

\( f'(x) = \frac{(2x^2 + 2x - 8x - 8) - (x^2 - 8x)}{(x+1)^2} \)

\( f'(x) = \frac{2x^2 - 6x - 8 - x^2 + 8x}{(x+1)^2} \)

\( f'(x) = \frac{x^2 + 2x - 8}{(x+1)^2} \)

Ответ: Производная функции f(x) равна \( \frac{x^2 + 2x - 8}{(x+1)^2} \).