4. \(\frac{x+1}{x-5} + \frac{x-4}{x+2} = \frac{42}{(x-5)(x+2)}\)

Решение:

1. Приведём к общему знаменателю \( (x-5)(x+2) \).
2. Уравнение примет вид: \[ \frac{(x+1)(x+2)}{(x-5)(x+2)} + \frac{(x-4)(x-5)}{(x+2)(x-5)} = \frac{42}{(x-5)(x+2)} \]
3. Раскроем скобки в числителях: \[ \frac{x^2 + 2x + x + 2 + x^2 - 5x - 4x + 20}{(x-5)(x+2)} = \frac{42}{(x-5)(x+2)} \]
4. Упростим числитель: \[ \frac{2x^2 - 6x + 22}{(x-5)(x+2)} = \frac{42}{(x-5)(x+2)} \]
5. Перенесём все члены в одну сторону: \[ \frac{2x^2 - 6x + 22 - 42}{(x-5)(x+2)} = 0 \]
6. Упростим числитель: \[ \frac{2x^2 - 6x - 20}{(x-5)(x+2)} = 0 \]
7. Приравняем числитель к нулю: \( 2x^2 - 6x - 20 = 0 \).
8. Разделим на 2: \( x^2 - 3x - 10 = 0 \).
9. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 \).
10. Корни: \[ x_1 = \frac{3 + \sqrt{49}}{2} = \frac{3+7}{2} = 5 \] \[ x_2 = \frac{3 - \sqrt{49}}{2} = \frac{3-7}{2} = -2 \]
11. Проверим ОДЗ: \( x \neq 5 \) и \( x \neq -2 \).
12. Оба корня не подходят, так как обращают знаменатель в ноль.

Ответ: нет решений.