4. Хорды окружности AB и CP пересекаются в точке K. Найдите длины отрезков, на которые делится хорда CP = 12 см, если AK = 8 см, KB = 4 см.

Решение:

Используем свойство пересекающихся хорд: произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

По условию, хорды AB и CP пересекаются в точке K. Следовательно:

\( AK \cdot KB = CK \cdot KP \)

Подставим известные значения:

\( 8 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = CK \cdot KP \)

\( 32 \text{ см}^2 = CK \cdot KP \)

Также по условию, длина хорды CP равна 12 см:

\( CP = CK + KP = 12 \text{ см} \)

У нас получилась система уравнений:

\[ \begin{cases} CK \cdot KP = 32 \\ CK + KP = 12 \end{cases} \]

Из второго уравнения выразим KP:

\( KP = 12 - CK \)

Подставим в первое уравнение:

\( CK \cdot (12 - CK) = 32 \)

\( 12CK - CK^2 = 32 \)

\( CK^2 - 12CK + 32 = 0 \)

Решим квадратное уравнение для CK:

Дискриминант \( D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32 = 144 - 128 = 16 \)

\( CK_1 = \frac{12 + \sqrt{16}}{2} = \frac{12 + 4}{2} = 8 \text{ см} \)

\( CK_2 = \frac{12 - \sqrt{16}}{2} = \frac{12 - 4}{2} = 4 \text{ см} \)

Если \( CK = 8 \text{ см} \), то \( KP = 12 - 8 = 4 \text{ см} \).

Если \( CK = 4 \text{ см} \), то \( KP = 12 - 4 = 8 \text{ см} \).

Таким образом, хорда CP делится на отрезки длиной 8 см и 4 см.

Ответ: 8 см и 4 см.