4. \(\int \frac{(3x+1)^2}{x} dx\)

Решение:

Сначала раскроем скобки в числителе:

\( (3x+1)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x · 1 + 1^2 = 9x^2 + 6x + 1 \)

Теперь подставим это в интеграл:

\( \int \frac{9x^2 + 6x + 1}{x} dx \)

Разделим каждое слагаемое числителя на \( x \):

\( \int (\frac{9x^2}{x} + \frac{6x}{x} + \frac{1}{x}) dx = \int (9x + 6 + \frac{1}{x}) dx \)

Теперь проинтегрируем каждое слагаемое:

\[ 9 \int x dx + 6 \int dx + \int \frac{1}{x} dx \]

Используем правила интегрирования: \( \int x dx = \frac{x^2}{2} + C \), \( \int dx = x + C \), \( \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C \).

\[ 9 \cdot \frac{x^2}{2} + 6x + \ln|x| + C = \frac{9x^2}{2} + 6x + \ln|x| + C \]

Ответ: \(\frac{9x^2}{2} + 6x + \ln|x| + C\)