5. \(\int_1^2 x^2 dx\)

Решение:

Это определенный интеграл. Сначала найдем первообразную для \( x^2 \), а затем вычислим разность значений первообразной в верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Первообразная для \( x^2 \) равна \( \frac{x^3}{3} \).

Вычисляем по формуле Ньютона-Лейбница: \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \).

\[ \int_1^2 x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_1^2 = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \]

Ответ: \(\frac{7}{3}\)