4. Используя данные рисунка, найди неизвестную сторону x. 1) В треугольнике ABC: AB = 5√2, ∠B = 105°, ∠C = 45°, BC = x. 2) В треугольнике ABC: ∠B = 60°, BC = 6, AC = 9, AB = x. 3) Вписанный треугольник ABC: ∠B = 60°, AC = x; отрезок, проходящий через центр O окружности, обозначен 7 и является диаметром.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому ∠A = 180° − 105° − 45° = 30°. По теореме синусов:
\(\dfrac{x}{\sin 30^\circ}=\dfrac{5\sqrt{2}}{\sin 45^\circ}\), откуда \(x=\dfrac{5\sqrt{2}\cdot 1/2}{\sqrt{2}/2}=5\).
По теореме косинусов для стороны AC:
\(9^2=x^2+6^2-2\cdot x\cdot6\cos60^\circ\).
Следовательно, \(x^2-6x-45=0\), то есть \((x-\! (3+3\sqrt6))(x-(3-3\sqrt6))=0\). Поскольку длина положительна, \(x=3+3\sqrt6\).
По теореме синусов, сторона AC, противолежащая углу B, равна диаметру описанной окружности, умноженному на синус этого угла:
\(x=7\sin60^\circ=\dfrac{7\sqrt3}{2}\).

Ответ: 1) 5; 2) \(3+3\sqrt6\); 3) \(\dfrac{7\sqrt3}{2}\).