4. Используя результаты задания 3, постройте график функции y = x² + 4x + 1. Найдите по графику: а) нули функции; промежутки, в которых f(x) > 0; б) промежутки убывания и возрастания функции; наибольшее и наименьшее её значение.

Выделим полный квадрат: y = x² + 4x + 1 = (x + 2)² − 3. Поэтому вершина параболы — (−2; −3), ось симметрии — x = −2; ветви направлены вверх.

а) Нули функции находятся из уравнения (x + 2)² − 3 = 0: x = −2 ± √3. Так как ветви параболы направлены вверх, f(x) > 0 вне промежутка между нулями.

б) До вершины функция убывает, после вершины возрастает. Наименьшее значение равно −3 при x = −2; наибольшего значения нет, поскольку функция не ограничена сверху.

Ответ: нули — −2 − √3 и −2 + √3; f(x) > 0 при x < −2 − √3 или x > −2 + √3; функция убывает на (−∞; −2] и возрастает на [−2; +∞); минимум −3, максимума нет.