4. Из точки O исходят четыре луча так, что ∠HOG = ∠AOC = 90° и ∠COG = 62°. Определите, сколько углов с вершиной в точке O изображено на рисунке? Объясните, почему ∠HOC = ∠AOG, и найдите величину этого угла.

На рисунке четыре луча с общей вершиной O. Любая пара лучей образует угол, поэтому число углов равно количеству пар из четырёх лучей: \(\binom{4}{2}=6\).

Так как \(\angle HOG=90^\circ\), а луч OC расположен внутри этого угла, то \(\angle HOC+\angle COG=\angle HOG\). Следовательно, \(\angle HOC=90^\circ-62^\circ=28^\circ\).

Угол \(\angle AOC=90^\circ\), а луч OG лежит внутри него, поэтому \(\angle AOG+\angle GOC=90^\circ\). Значит, \(\angle AOG=90^\circ-62^\circ=28^\circ\). Таким образом, \(\angle HOC=\angle AOG\).

Ответ: 6 углов; \(\angle HOC=\angle AOG=28^\circ\).