4 Изобразите дерево, в котором 5 вершин и только 3 вершины концевые. Чему равен самый длинный путь в данном дереве?

Решение:

1. Построение дерева:

   Дерево — это связный граф без циклов. Вершина называется концевой (или листовой), если степень её равна 1.

   У нас 5 вершин. 3 из них — концевые (степень 1). Остальные 2 вершины не концевые.

   Пусть вершины будут обозначены как V1, V2, V3, V4, V5.

   Пусть V3, V4, V5 — концевые вершины.

   Построим дерево:

   1. Соединим V1 и V2.
   2. Присоединим V3 к V1. (V1 теперь имеет степень 2, V3 — степень 1).
   3. Присоединим V4 к V2. (V2 теперь имеет степень 2, V4 — степень 1).
   4. Присоединим V5 к V1. (V1 теперь имеет степень 3, V5 — степень 1).

   Получили дерево с 5 вершинами: V1, V2, V3, V4, V5.

   Степени вершин:

   • V1: 3 (соединена с V2, V3, V5)
   • V2: 2 (соединена с V1, V4)
   • V3: 1 (соединена с V1) - концевая
   • V4: 1 (соединена с V2) - концевая
   • V5: 1 (соединена с V1) - концевая

   У нас 3 концевые вершины (V3, V4, V5). Не концевые вершины: V1, V2.

   (В текстовом формате сложно нарисовать само дерево. Оно будет выглядеть как два центральных узла (V1, V2), от которых отходят ветви к концевым вершинам. Например, V1 соединена с V2, V3, V5. V2 соединена с V1, V4.)

2. Самый длинный путь:

   Путь в дереве — это последовательность вершин, где каждая следующая связана с предыдущей ребром. Длина пути — количество рёбер в нём.

   Рассмотрим возможные пути между концевыми вершинами:

   • V3 → V1 → V2 → V4. Длина = 3 ребра.
   • V3 → V1 → V5. Длина = 2 ребра.
   • V4 → V2 → V1 → V5. Длина = 3 ребра.

   Самый длинный путь — это путь между двумя концевыми вершинами, проходящий через все промежуточные вершины.

   В нашем случае, самый длинный путь — это путь между V3 и V4 (или V4 и V3, или V3 и V5, или V5 и V3, или V4 и V5, или V5 и V4), проходящий через V1 и V2. Например, V3 - V1 - V2 - V4. Длина этого пути составляет 3 ребра.

Ответ: Самый длинный путь в данном дереве равен 3.