4. Известно, что \(64x^2+\frac1{x^2}=65\). Найдите значение выражения \(8x+\frac1x\).

Возведём искомое выражение в квадрат:

\(\left(8x+\frac1x\right)^2=64x^2+16+\frac1{x^2}=65+16=81.\)

Следовательно, \(8x+\frac1x\) может быть равен как \(9\), так и \(-9\). Оба значения возможны: при замене \(x\) на \(-x\) условие сохраняется, а выражение меняет знак.

Ответ: \(9\) или \(-9\).