4. Каким выражением можно заменить звёздочку в равенстве 5 − x = 3x + *, чтобы получилось уравнение: 1) не имеющее корней; 2) имеющее бесконечно много корней; 3) имеющее один корень?

Подберём выражения так, чтобы после подстановки получались уравнения с требуемым количеством корней.

1. Для отсутствия корней возьмём \(* = -4x\). Тогда \(5 - x = 3x - 4x\), то есть \(5 - x = -x\), откуда \(5 = 0\). Это невозможно, значит корней нет.
2. Для бесконечного множества корней возьмём \(* = 5 - 4x\). Тогда \(5 - x = 3x + 5 - 4x = 5 - x\). Получается тождество, верное при любом значении \(x\).
3. Для одного корня возьмём \(* = 0\). Тогда \(5 - x = 3x\), откуда \(4x = 5\) и \(x = \frac{5}{4}\).

Ответ: 1) \(-4x\); 2) \(5 - 4x\); 3) \(0\).