4. Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 56°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть точка пересечения касательных будет \(C\).

Рассмотрим четырёхугольник \( OACB \). Углы \( ∠ OAC \) и \( ∠ OBC \) равны 90°, так как радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным.

Сумма углов четырёхугольника равна 360°. Поэтому:

\[ ∠ AOB + ∠ OAC + ∠ ACB + ∠ OBC = 360° \]

\[ ∠ AOB + 90° + 56° + 90° = 360° \]

\[ ∠ AOB + 236° = 360° \]

\[ ∠ AOB = 360° - 236° = 124° \]

Теперь рассмотрим треугольник \( ∠ OAB \). Этот треугольник равнобедренный, так как \( OA = OB \) (радиусы окружности).

Сумма углов в треугольнике равна 180°. Поэтому:

\[ ∠ OAB + ∠ OBA + ∠ AOB = 180° \]

Так как \( ∠ OAB = ∠ OBA \), обозначим этот угол как \( x \).

\[ x + x + 124° = 180° \]

\[ 2x = 180° - 124° \]

\[ 2x = 56° \]

\[ x = \frac{56°}{2} = 28° \]

Таким образом, угол \( ∠ ABO \) равен 28°.

Ответ: 28°.