4. MABCD — правильная пирамида, ∠AMC = 90°, AB = 6. Найдите V.

Основание — квадрат со стороной \(AB=6\), поэтому

\[S_{ABCD}=6^2=36,\qquad AC=6\sqrt{2}.\]

В равнобедренном треугольнике MAC угол при вершине равен \(90^\circ\), поэтому высота MO является также медианой к гипотенузе AC:

\[OA=\frac{AC}{2}=3\sqrt{2}.\]

По теореме Пифагора в треугольнике MOA:

\[MA^2=2OA^2=2\cdot(3\sqrt{2})^2=36,\qquad MA=6.\]

Высота пирамиды:

\[h=MO=\sqrt{MA^2-OA^2}=\sqrt{36-18}=3\sqrt{2}.\]

Тогда

\[V=\frac{1}{3}S_{ABCD}h=\frac{1}{3}\cdot36\cdot3\sqrt{2}=36\sqrt{2}.\]

Ответ: \(36\sqrt{2}\).