4*. Масса Земли равна 6 · 10²⁴ кг, а масса Луны — 7 · 10²² кг. Считая, что Луна движется вокруг Земли по окружности радиусом 384 000 км, определите: а) силу притяжения между Землёй и Луной; б) центростремительное ускорение, с которым Луна движется вокруг Земли; в) модуль скорости движения Луны относительно Земли.

Дано: масса Земли \(M = 6 \cdot 10^{24}\) кг, масса Луны \(m = 7 \cdot 10^{22}\) кг, радиус орбиты \(r = 384\,000\) км = \(3.84 \cdot 10^8\) м. Используем гравитационную постоянную \(G = 6.67 \cdot 10^{-11}\) Н·м²/кг².

а) По закону всемирного тяготения:

\(F = G\frac{Mm}{r^2} = 6.67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{6 \cdot 10^{24} \cdot 7 \cdot 10^{22}}{(3.84 \cdot 10^8)^2} \approx 1.9 \cdot 10^{20}\) Н.

б) Сила притяжения сообщает Луне центростремительное ускорение:

\(a = \frac{F}{m} \approx \frac{1.9 \cdot 10^{20}}{7 \cdot 10^{22}} \approx 2.7 \cdot 10^{-3}\) м/с².

в) Для движения по окружности \(a = \frac{v^2}{r}\), поэтому

\(v = \sqrt{ar} \approx \sqrt{2.7 \cdot 10^{-3} \cdot 3.84 \cdot 10^8} \approx 1.02 \cdot 10^3\) м/с.

Ответ: а) \(1.9 \cdot 10^{20}\) Н; б) \(2.7 \cdot 10^{-3}\) м/с²; в) \(1.02 \cdot 10^3\) м/с.