4. Можно ли покрыть шахматную доску доминошками (прямоугольниками 1 × 2) так, чтобы свободными остались только клетки a1 и h8?

Нет. Клетки a1 и h8 — противоположные угловые клетки шахматной доски, они одного цвета. После их удаления останется 30 клеток одного цвета и 32 клетки другого.

Каждая доминошка, покрывающая две соседние клетки, всегда закрывает одну клетку каждого цвета. Поэтому покрыть все оставшиеся клетки невозможно: числа клеток двух цветов должны совпадать.

Ответ: нельзя.