4. На диагонали AC параллелограмма ABCD отмечены точки M и N так, что AM = NC, а точка M лежит между точками A и N. Докажите, что угол ABM равен углу CDN.

Пусть O — точка пересечения диагоналей. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому AO = OC. Из AM = NC и порядка точек A, M, N, C следует, что M и N симметричны относительно O: OM = ON.

Центральная симметрия с центром O переводит A в C, B в D и M в N. Поэтому луч BA переходит в луч DC, а луч BM — в луч DN. Центральная симметрия сохраняет величину угла, следовательно, ∠ABM = ∠CDN.