4. На диагонали AC параллелограмма ABCD отмечены точки N и P так, что ∠ABN = ∠CDP (точка N лежит между A и P). Докажите, что BN = DP.

Рассмотрим треугольники ABN и CDP. Так как AB ∥ CD, а точки A, N, P, C лежат на одной прямой, то \(\angle BAN=\angle DCP\). По условию \(\angle ABN=\angle CDP\). Следовательно, треугольники ABN и CDP подобны по двум углам.

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому \(AB=CD\). Эти стороны — соответствующие стороны подобных треугольников, значит коэффициент подобия равен 1. Следовательно, соответствующие стороны также равны: \(BN=DP\).

Что и требовалось доказать.