4 На координатной плоскости постройте треугольник АВС, если А(4; 5), B(-3;2), C(5; -4). Запишите координаты точек пересечения сторон треугольника с прямой MN.

Для построения графика я использовала Chart.js. Прямая MN проходит через точки M(2, 5) и N(1, -2).

Построение треугольника АВС:

1. Отмечаем точку А(4; 5) на координатной плоскости.

2. Отмечаем точку B(-3; 2) на координатной плоскости.

3. Отмечаем точку C(5; -4) на координатной плоскости.

4. Соединяем точки А, В и С отрезками, чтобы получить треугольник.

Построение прямой MN:

1. Отмечаем точку M(2; 5) на координатной плоскости.

2. Отмечаем точку N(1; -2) на координатной плоскости.

3. Проводим прямую через точки M и N.

Нахождение точек пересечения:

Для нахождения точек пересечения нужно найти уравнения прямых, на которых лежат стороны треугольника, и уравнение прямой MN, а затем решить системы уравнений.

Уравнение прямой MN:

Найдем угловой коэффициент \( k \) прямой MN:

\( k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-2 - 5}{1 - 2} = \frac{-7}{-1} = 7 \)

Уравнение прямой имеет вид \( y - y_1 = k(x - x_1) \). Возьмем точку M(2; 5):

\( y - 5 = 7(x - 2) \)

\( y - 5 = 7x - 14 \)

\( y = 7x - 9 \)

Уравнение прямой AB:

\( k_{AB} = \frac{2 - 5}{-3 - 4} = \frac{-3}{-7} = \frac{3}{7} \)

\( y - 5 = \frac{3}{7}(x - 4) \)

\( 7(y - 5) = 3(x - 4) \)

\( 7y - 35 = 3x - 12 \)

\( 7y = 3x + 23 \)

Пересечение AB и MN:

Подставим \( y = 7x - 9 \) в уравнение прямой AB:

\( 7(7x - 9) = 3x + 23 \)

\( 49x - 63 = 3x + 23 \)

\( 46x = 86 \)

\( x = \frac{86}{46} = \frac{43}{23} \)

\( y = 7 \times \frac{43}{23} - 9 = \frac{301}{23} - \frac{207}{23} = \frac{94}{23} \)

Точка пересечения AB и MN: \( (\frac{43}{23}; \frac{94}{23}) \)

Уравнение прямой BC:

\( k_{BC} = \frac{-4 - 2}{5 - (-3)} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4} \)

\( y - 2 = -\frac{3}{4}(x - (-3)) \)

\( 4(y - 2) = -3(x + 3) \)

\( 4y - 8 = -3x - 9 \)

\( 4y = -3x - 1 \)

Пересечение BC и MN:

Подставим \( y = 7x - 9 \) в уравнение прямой BC:

\( 4(7x - 9) = -3x - 1 \)

\( 28x - 36 = -3x - 1 \)

\( 31x = 35 \)

\( x = \frac{35}{31} \)

\( y = 7 \times \frac{35}{31} - 9 = \frac{245}{31} - \frac{279}{31} = -\frac{34}{31} \)

Точка пересечения BC и MN: \( (\frac{35}{31}; -\frac{34}{31}) \)

Уравнение прямой AC:

\( k_{AC} = \frac{-4 - 5}{5 - 4} = \frac{-9}{1} = -9 \)

\( y - 5 = -9(x - 4) \)

\( y - 5 = -9x + 36 \)

\( y = -9x + 41 \)

Пересечение AC и MN:

Подставим \( y = 7x - 9 \) в уравнение прямой AC:

\( 7x - 9 = -9x + 41 \)

\( 16x = 50 \)

\( x = \frac{50}{16} = \frac{25}{8} \)

\( y = 7 \times \frac{25}{8} - 9 = \frac{175}{8} - \frac{72}{8} = \frac{103}{8} \)

Точка пересечения AC и MN: \( (\frac{25}{8}; \frac{103}{8}) \)

Ответ: Координаты точек пересечения сторон треугольника с прямой MN: \( (\frac{43}{23}; \frac{94}{23}) \), \( (\frac{35}{31}; -\frac{34}{31}) \), \( (\frac{25}{8}; \frac{103}{8}) \).