4. На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что ∠AOB = 72°. Длина дуги АВ равна 10. Найдите длину большей дуги АВ.

Решение:

1. Известно: На окружности с центром О отмечены точки А и В. ∠AOB = 72°. Длина дуги АВ (меньшей) = 10.

2. Найти: Длину большей дуги АВ.

3. Анализ:

• Центральный угол ∠AOB равен 72°, он соответствует меньшей дуге АВ.
• Полная окружность составляет 360°.
• Длина всей окружности (L) связана с длиной дуги (l) и углом (α) формулой: l = (α / 360°) * L.
• Мы знаем длину меньшей дуги (l_{меньшей} = 10) и соответствующий ей центральный угол (α_{меньшей} = 72°).
• Мы можем найти длину всей окружности (L):
• 10 = (72° / 360°) * L.
• 10 = (1/5) * L.
• L = 10 * 5 = 50.
• Теперь найдем угол, соответствующий большей дуге АВ:
• α_{большей} = 360° - α_{меньшей} = 360° - 72° = 288°.
• Длина большей дуги АВ (l_{большей}) вычисляется по формуле:
• l_{большей} = (α_{большей} / 360°) * L.
• l_{большей} = (288° / 360°) * 50.

4. Вычисление:

• Упростим дробь 288/360. Оба числа делятся на 72: 288 / 72 = 4, 360 / 72 = 5.
• l_{большей} = (4/5) * 50.
• l_{большей} = 4 * (50 / 5) = 4 * 10 = 40.

Ответ: 40