4. На плоскости отметили 16 точек, попарно соединили их отрезками и провели прямую, которая не проходит ни через одну из этих отмеченных точек. Какое наибольшее число полученных отрезков может пересекать проведённая?

Чтобы число пересечений было наибольшим, расположим по 8 точек в каждой полуплоскости относительно проведённой прямой. Отрезок пересекает прямую, если его концы лежат по разные стороны от неё. Каждый из 8 точек одной полуплоскости можно соединить с каждой из 8 точек другой, получив 8 · 8 = 64 таких отрезка.

Больше быть не может: если по сторонам прямой находятся k и 16 − k точек, число пересекающих её отрезков равно k(16 − k). Это произведение максимально при k = 8.

Ответ: 64 отрезка.