4. На рисунке 3 представлен график зависимости числа нераспавшихся ядер радиоактивного изотопа от времени. Определите начальную массу вещества, если за промежуток времени $$\Delta t = 25,0$$ ч масса радиоактивного вещества уменьшилась на $$\Delta m = 120$$ г.

Решение:

1. Определение периода полураспада (T½):

   По графику видно, что в начальный момент времени (t=0) число ядер равно $$N_0 \cdot 10^{17}$$. Через 100 часов число ядер уменьшилось примерно до 800 (в масштабе графика, если 1600 соответствует $$N_0 · 10^{17}$$, то 800 соответствует $$0.5 · N_0 · 10^{17}$$). Это означает, что период полураспада $$T_{1/2}$$ равен 100 часам.

2. Определение начального числа ядер ($$N_0$$):

   За промежуток времени $$\Delta t = 25,0$$ ч масса вещества уменьшилась на $$\Delta m = 120$$ г. Пусть начальная масса вещества равна $$m_0$$. Тогда масса вещества, оставшаяся через 25 часов, равна $$m = m_0 - 120$$ г.

   Количество вещества пропорционально числу ядер. Пусть $$N$$ - число ядер, соответствующее массе $$m$$. Связь между числом ядер и массой дается формулой: $$N = \frac{m}{M} \cdot N_A$$, где $$M$$ - молярная масса, $$N_A$$ - число Авогадро.

   Из графика видно, что при $$t=0$$, $$N = N_0 · 10^{17}$$. При $$t=100$$ ч, $$N = 0.5 · N_0 · 10^{17}$$ (примерно).

   Используем формулу радиоактивного распада: $$N(t) = N_0 \cdot (1/2)^{t/T_{1/2}}$$.

   В нашем случае, $$t = 25$$ ч, $$T_{1/2} = 100$$ ч. $$t/T_{1/2} = 25/100 = 1/4$$.

   Тогда $$N(25) = N_0 · (1/2)^{1/4}$$.

   Масса вещества, оставшегося через 25 часов, $$m(25) = m_0 · (1/2)^{1/4}$$.

   Мы знаем, что $$m(25) = m_0 - 120$$ г.

   $$m_0 - 120 = m_0 · (1/2)^{1/4}$$.

   $$m_0 - m_0 · (1/2)^{1/4} = 120$$.

   $$m_0 · (1 - (1/2)^{1/4}) = 120$$.

   Рассчитаем $$(1/2)^{1/4}$$: $$(0.5)^{0.25} \approx 0.8409$$.

   $$m_0 · (1 - 0.8409) = 120$$.

   $$m_0 · 0.1591 = 120$$.

   $$m_0 = 120 / 0.1591 \approx 754.18$$ г.

3. Проверка по графику:

   Значение $$N$$ при $$t=0$$ на графике - 1600 (в $$10^{17}$$).

   Число часов = 100. Период полураспада $$T_{1/2} = 100$$ ч.

   Через 25 часов ($$t = 25$$ ч), $$t/T_{1/2} = 25/100 = 1/4$$.

   Количество оставшихся ядер: $$N(25) = 1600 · 10^{17} · (1/2)^{1/4} \approx 1600 · 10^{17} · 0.8409 \approx 1345.44 · 10^{17}$$ ядер.

   Количество распавшихся ядер: $$N_{распалось} = N_0 - N(25) = (1600 - 1345.44) · 10^{17} = 254.56 · 10^{17}$$ ядер.

   Это количество распавшихся ядер соответствует 120 г.

   Начальное количество ядер соответствует $$m_0$$.

   $$\frac{120 ext{ г}}{m_0} = \frac{254.56 · 10^{17} ext{ ядер}}{1600 · 10^{17} ext{ ядер}}$$

   $$m_0 = 120 · \frac{1600}{254.56} \approx 120 · 6.285 \approx 754.2$$ г.

Ответ: Начальная масса вещества составляет приблизительно 754,2 г.