4. На рисунке 38 углы ∠AKB и ∠DKC равны, и KE — биссектриса угла AKD. Докажите, что ∠BKE = ∠CKE.

Обозначим ∠BKE через x, а ∠CKE через y. Поскольку KE — биссектриса ∠AKD, имеем ∠AKE = ∠EKD.

По расположению лучей на рисунке:

∠AKE = ∠AKB + ∠BKE, а ∠EKD = ∠EKC + ∠CKD.

Углы ∠AKB и ∠DKC равны по условию, причём ∠EKC = ∠CKE и ∠CKD = ∠DKC. Поэтому из равенства ∠AKE = ∠EKD следует x = y.

Следовательно, ∠BKE = ∠CKE.