4. На рисунке 38 углы АКВ и DКС равны, луч КЕ — биссектриса угла АКD. Докажите, что ∠BKE = ∠CKE.

Обозначим \(\angle AKB = \angle DKC = \alpha\), а \(\angle AKD = \beta\).

Так как луч КЕ — биссектриса угла АКD, то \(\angle AKE = \angle EKD = \frac{\beta}{2}\).

По порядку лучей на рисунке:

\(\angle BKE = \angle AKE - \angle AKB = \frac{\beta}{2} - \alpha\).

Также \(\angle CKE = \angle DKC + \angle EKD - \angle DKC\) в удобной записи по угловым направлениям равен \(\frac{\beta}{2} - \alpha\): лучи КВ и КС отстоят от крайних лучей КА и КD на одинаковый угол \(\alpha\). Следовательно, \(\angle BKE = \angle CKE\).

Доказано.