4) На рисунке четырёхугольник ABCD с диагоналями AC и BD; ∠DAC = 60°, ∠ACD = 40°, CD = 8. Обозначено: BD = x, AC = y.

В треугольнике ACD известны угол \(A=60^\circ\), угол \(C=40^\circ\) и сторона \(CD=8\). Следовательно, \(\angle ADC=180^\circ-60^\circ-40^\circ=80^\circ\).

По теореме синусов:

\(\frac{AC}{\sin80^\circ}=\frac{CD}{\sin60^\circ}\), поэтому \(y=AC=\frac{8\sin80^\circ}{\sin60^\circ}\approx9.09\).

Для нахождения \(BD=x\) недостаточно данных: на изображении не видны дополнительные условия о четырёхугольнике (например, о параллельности или равенстве сторон). Одного треугольника ACD недостаточно, чтобы определить положение точки B и длину BD.

Ответ: \(AC=y=\frac{8\sin80^\circ}{\sin60^\circ}\approx9.09\); для нахождения \(BD=x\) нужны дополнительные условия о четырёхугольнике.