4. На рисунке NP = PK и NT = TK. Докажите, что: а) △PNT = △PKT; б) PT — биссектриса угла P; в) NK перпендикулярен PT. Достройте рисунок и запишите решение.

Дано: NP = PK, NT = TK.

а) Доказательство равенства треугольников.

1. NP = PK — по условию.
2. NT = TK — по условию.
3. PT = PT — общая сторона.
4. Следовательно, △PNT = △PKT по трём сторонам.

б) Доказательство того, что PT — биссектриса угла P.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:

∠NPT = ∠TPK.

Эти углы являются частями угла P, поэтому PT — биссектриса угла NPK.

в) Доказательство перпендикулярности.

Точка P равноудалена от точек N и K, так как NP = PK. Точка T также равноудалена от точек N и K, так как NT = TK.

Следовательно, прямая PT является серединным перпендикуляром к отрезку NK. Поэтому NK ⟂ PT.

Вывод: а) △PNT = △PKT; б) PT — биссектриса угла P; в) NK ⟂ PT.