4. На рисунке ОА=ОС, угол 1 равен углу 2. Доказать, что AB=BC.

Доказательство:

Рассмотрим треугольник ABC. У нас дано, что \( OA = OC \) и \( \angle 1 = \angle 2 \).

Углы \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) являются частями углов \( \angle BAC \) и \( \angle BCA \) соответственно.

В треугольнике ABC, \( \angle BAC \) и \( \angle BCA \) являются углами при основании AC.

Так как \( OA = OC \), то треугольник AOC — равнобедренный.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны, следовательно \( \angle OAC = \angle OCA \).

Угол \( \angle 1 \) и \( \angle OAC \) — это один и тот же угол \( \angle BAC \).

Угол \( \angle 2 \) и \( \angle OCA \) — это один и тот же угол \( \angle BCA \).

По условию \( \angle 1 = \angle 2 \). Следовательно, \( \angle BAC = \angle BCA \).

Если два угла в треугольнике ABC равны, то треугольник ABC — равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны.

Сторона AB противолежит углу \( \angle BCA \), а сторона BC противолежит углу \( \angle BAC \).

Так как \( \angle BAC = \angle BCA \), то \( AB = BC \).

Что и требовалось доказать.