№4. На рисунке прямая BC касается окружности с центром О в точке В. Найдите угол АОВ, если угол ABC равен 63°.

Решение:

Так как прямая BC является касательной к окружности в точке B, то радиус OB перпендикулярен касательной. Следовательно, \( \angle OBC = 90^{\circ} \).

Угол ABC является смежным с углом OBA. \( \angle ABC = 63^{\circ} \).

\( \angle OBA = \angle OBC - \angle ABC = 90^{\circ} - 63^{\circ} = 27^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник AOB. OA и OB — радиусы окружности, значит, \( OA = OB \). Треугольник AOB — равнобедренный.

Угол AOB является центральным углом, опирающимся на дугу AB. Угол OAB — это угол при основании равнобедренного треугольника AOB, равный \( \angle OBA \).

\( \angle OAB = \angle OBA = 27^{\circ} \).

Сумма углов в треугольнике AOB равна 180°:

\( \angle AOB + \angle OBA + \angle OAB = 180^{\circ} \)

\( \angle AOB + 27^{\circ} + 27^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle AOB + 54^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle AOB = 180^{\circ} - 54^{\circ} = 126^{\circ} \)

Ответ: 126°.