4. На рисунке прямоугольник MNPQ; точка K лежит на NP, NK = 4, KP = 3, а QK — биссектриса угла MQP. Найти: а) MQ, PQ; б) Pₘₙₚₛ.

По рисунку K лежит на стороне NP, поэтому NP = NK + KP = 4 + 3 = 7. В прямоугольнике противоположные стороны равны, следовательно MQ = NP = 7.

Так как QK — биссектриса прямого угла MQP, то ∠KQP = 45°. Треугольник KPQ прямоугольный при P; его острые углы равны, значит KP = PQ. Поэтому PQ = 3.

Периметр прямоугольника MNQP равен 2(MQ + PQ) = 2(7 + 3) = 20.

Ответ: а) MQ = 7, PQ = 3; б) Pₘₙₚₛ = 20.