4. На рисунке углы AKB и DKC равны, луч KE — биссектриса угла AKD. Докажите, что ∠BKE = ∠CKE.

Обозначим \(\angle AKB = \angle DKC = x\), \(\angle BKE = y\), \(\angle CKE = z\). По расположению лучей на рисунке \(\angle AKE = \angle AKB + \angle BKE = x+y\), а \(\angle EKD = \angle EКC + \angle CKD = z+x\).

Так как KE — биссектриса угла AKD, то \(\angle AKE = \angle EKD\). Значит, \(x+y=x+z\), откуда \(y=z\).

Следовательно, \(\angle BKE = \angle CKE\).