4. На сторонах AB и DC параллелограмма ABCD взяты точки M и K соответственно, причём AM = MB, CK = KD. Докажите, что MK параллельно AD.

Пусть O — точка пересечения диагоналей параллелограмма. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому O — середина AC.

В треугольнике ABC точка M — середина AB, а O — середина AC. По теореме о средней линии \(MO \parallel BC\).

Точка K — середина CD. В треугольнике CDA точки O и K — середины диагонали AC и стороны CD соответственно, поэтому \(OK \parallel AD\). Поскольку \(AD \parallel BC\), отрезки MO и OK параллельны одной прямой. Точки M, O и K лежат на одной прямой: оба отрезка MO и OK проходят через O, а их направления параллельны BC и AD, которые параллельны друг другу. Следовательно, \(M, O, K\) коллинеарны, и \(MK \parallel AD\).

Что и требовалось доказать.