Контрольные задания
Вопрос:

4) На сторонах АВ, BC, CD и AD квадрата ABCD отмечены соответственно точки Р, М, Е и К так, что АР = BM = CE = DK= 3 см, ДАРК = 60°. Чему равен периметр четырехугольника РМЕКР.

Фото задания: 4) На сторонах АВ, BC, CD и AD квадрата ABCD отмечены соответственно точки Р, М, Е и К так, что АР = BM = CE = DK= 3 см, ДАРК…Фото задания

Ответ:

Задание 4. Периметр четырехугольника

Дано:

  • Квадрат ABCD.
  • \( P \) на \( AB \), \( M \) на \( BC \), \( E \) на \( CD \), \( K \) на \( AD \).
  • \( AP = BM = CE = DK = 3 \) см.
  • \( ∠ APK = 60^\circ \).

Найти: Периметр четырехугольника РМЕКР.

Решение:

  1. Пусть сторона квадрата равна \( a \).
  2. \( AB = BC = CD = AD = a \).
  3. \( PB = AB - AP = a - 3 \).
  4. \( MC = BC - BM = a - 3 \).
  5. \( DE = CD - CE = a - 3 \).
  6. \( AK = AD - DK = a - 3 \).
  7. Рассмотрим треугольник \( △ APK \). \( AP = 3 \), \( AK = a - 3 \). \( ∠ A = 90^\circ \).
  8. По теореме Пифагора: \( PK^2 = AP^2 + AK^2 = 3^2 + (a-3)^2 = 9 + a^2 - 6a + 9 = a^2 - 6a + 18 \).
  9. Рассмотрим треугольник \( △ PBM \). \( PB = a - 3 \), \( BM = 3 \). \( ∠ B = 90^\circ \).
  10. По теореме Пифагора: \( PM^2 = PB^2 + BM^2 = (a-3)^2 + 3^2 = a^2 - 6a + 9 + 9 = a^2 - 6a + 18 \).
  11. Рассмотрим треугольник \( △ MCE \). \( MC = a - 3 \), \( CE = 3 \). \( ∠ C = 90^\circ \).
  12. По теореме Пифагора: \( ME^2 = MC^2 + CE^2 = (a-3)^2 + 3^2 = a^2 - 6a + 18 \).
  13. Рассмотрим треугольник \( △ KED \). \( DK = 3 \), \( DE = a - 3 \). \( ∠ D = 90^\circ \).
  14. По теореме Пифагора: \( KE^2 = DK^2 + DE^2 = 3^2 + (a-3)^2 = 9 + a^2 - 6a + 9 = a^2 - 6a + 18 \).
  15. Все стороны четырехугольника РМЕК равны: \( PK = PM = ME = KE = √(a^2 - 6a + 18) \).
  16. Следовательно, РМЕК — ромб.
  17. Теперь используем условие \( ∠ APK = 60^\circ \).
  18. В треугольнике \( △ APK \): \( AP = 3 \), \( AK = a-3 \). \( ∠ A = 90^\circ \).
  19. Так как \( ∠ APK = 60^\circ \) и \( ∠ A = 90^\circ \), то \( ∠ AKP = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).
  20. В прямоугольном треугольнике \( △ APK \): \( \tan(∠ APK) = \frac{AK}{AP} \).
  21. \( \tan(60^\circ) = \frac{a-3}{3} \).
  22. \( √{3} = \frac{a-3}{3} \).
  23. \( a-3 = 3√{3} \).
  24. \( a = 3 + 3√{3} \).
  25. Теперь найдем длину стороны РМЕК: \( PM = √(a^2 - 6a + 18) \).
  26. Подставим \( a = 3 + 3√{3} \). \( a-3 = 3√{3} \).
  27. \( PM^2 = (3√{3})^2 + 3^2 = 27 + 9 = 36 \).
  28. \( PM = √{36} = 6 \) см.
  29. Периметр четырехугольника РМЕКР равен сумме длин его сторон: \( P_{РМЕКР} = 4 · PM = 4 · 6 = 24 \) см.

Ответ: 24 см.