5) В ромбе АВСD высота АК, проведенная к стороне ВС, пересекает диагональ BD в точке Е, ∠ADE = 40°. Найдите величину угла ЕАС.

Задание 5. Угол в ромбе

Дано:

• Ромб ABCD.
• \( AK ⊥ BC \), K на BC.
• \( E = AK ∩ BD \).
• \( ∠ ADE = 40^\circ \).

Найти: \( ∠ EAC \).

Решение:

1. В ромбе диагонали перпендикулярны и делят углы пополам.
2. \( BD \) — диагональ, значит, \( ∠ ADB = ∠ CDB \).
3. \( ∠ ABC = ∠ ADC = 180^\circ - ∠ A = 180^\circ - ∠ C \).
4. \( ∠ DAB = ∠ BCD \). \( ∠ ABC = ∠ ADC \).
5. \( ∠ ADC = ∠ ADE + ∠ EDC \).
6. \( ∠ ADE = 40^\circ \).
7. В ромбе \( AD ∥ BC \). \( AK ⊥ BC ⇒ AK ⊥ AD \) (неверно).
8. \( AK ⊥ BC \). \( BC ∥ AD \). Значит, \( AK ⊥ AD \). Это возможно только если \( ∠ A = 90^\circ \), т.е. квадрат. Но это не указано.
9. \( AK \) — высота к \( BC \).
10. \( ∠ AKC = 90^\circ \). \( ∠ AKB = 90^\circ \).
11. В ромбе \( AB = BC = CD = AD \). \( △ ABC \) и \( △ ADC \) — равнобедренные (т.к. \( AB = BC \), \( AD = CD \)).
12. \( BD \) — диагональ, значит, \( ∠ ABD = ∠ CBD \), \( ∠ ADB = ∠ CDB \).
13. \( ∠ ADC = ∠ ADB + ∠ CDB = 2 · ∠ ADB \).
14. \( ∠ ADE = 40^\circ \), значит, \( ∠ ADB = 40^\circ \).
15. \( ∠ ADC = 2 · 40^\circ = 80^\circ \).
16. \( ∠ A = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ \).
17. \( ∠ BAC = ∠ DAC = 100^\circ / 2 = 50^\circ \).
18. \( ∠ ACB = ∠ ACD = 80^\circ / 2 = 40^\circ \).
19. В \( △ AKC \): \( ∠ AKC = 90^\circ \), \( ∠ ACK = 40^\circ \).
20. \( ∠ CAK = 180^\circ - 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ \).
21. \( ∠ EAC = ∠ CAK = 50^\circ \).

Ответ: 50°.