4. На сторонах АВ и AD параллелограмма ABCD отмечены соответственно точки М и № так, что АM: MB = 5: 2, AN: ND=4: 5. Выразите вектор MN через векторы CD= а и CB = b.

Решение:

Дан параллелограмм ABCD. Точки M на AB и N на AD такие, что AM:MB = 5:2 и AN:ND = 4:5.

Нужно выразить вектор \(\vec{MN}\) через \(\vec{CD} = \vec{a}\) и \(\vec{CB} = \vec{b}\).

Сначала выразим векторы \(\vec{AM}\) и \(\vec{AN}\) через векторы сторон параллелограмма.

Так как ABCD - параллелограмм, то \(\vec{AB} = \vec{DC}\) и \(\vec{AD} = \vec{BC}\). Также \(\vec{DC} = -\vec{CD}\) и \(\vec{BC} = -\vec{CB}\).

Следовательно, \(\vec{AB} = -\vec{a}\) и \(\vec{AD} = -\vec{b}\).

Учитывая соотношения отрезков:

• \(AM = \frac{5}{5+2} AB = \frac{5}{7} AB\)
• \(AN = \frac{4}{4+5} AD = \frac{4}{9} AD\)

Теперь запишем векторы \(\vec{AM}\) и \(\vec{AN}\) через \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\):

• \(\vec{AM} = \frac{5}{7} \vec{AB} = \frac{5}{7} (-\vec{a}) = -\frac{5}{7} \vec{a}\).
• \(\vec{AN} = \frac{4}{9} \vec{AD} = \frac{4}{9} (-\vec{b}) = -\frac{4}{9} \vec{b}\).

Теперь найдем вектор \(\vec{MN}\) по правилу вычитания векторов: \(\vec{MN} = \vec{AN} - \vec{AM}\).

• \(\vec{MN} = (-\frac{4}{9} \vec{b}) - (-\frac{5}{7} \vec{a})\)
• \(\vec{MN} = -\frac{4}{9} \vec{b} + \frac{5}{7} \vec{a}\)
• \(\vec{MN} = \frac{5}{7} \vec{a} - \frac{4}{9} \vec{b}\).

Ответ: \(\vec{MN} = \frac{5}{7} \vec{a} - \frac{4}{9} \vec{b}\)