4. На стороне CD квадрата ABCD лежит точка P такая, что CP = PD, O — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы \(\overrightarrow{BO}\), \(\overrightarrow{BP}\), \(\overrightarrow{PA}\) через векторы \(\vec x=\overrightarrow{BA}\) и \(\vec y=\overrightarrow{BC}\).

Так как ABCD — квадрат, то \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=\vec y\). Поскольку \(\vec x=\overrightarrow{BA}\), примем точку B за начало отсчёта:

\[\overrightarrow{BA}=\vec x,\qquad \overrightarrow{BC}=\vec y.\]

Тогда:

1. Диагонали квадрата делятся точкой O пополам, поэтому
   \[\overrightarrow{BO}=\frac12\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right)=\frac12\vec x+\frac12\vec y.\]
2. Точка P — середина стороны CD. Из точки B к точке P можно пройти по векторам \(\vec x\), а затем половину \(\overrightarrow{CD}\). Поскольку \(\overrightarrow{CD}=\vec x\), получаем
   \[\overrightarrow{BP}=\vec y+\frac12\vec x=\frac12\vec x+\vec y.\]
3. Так как \(\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BA}\), имеем
   \[\overrightarrow{PA}=\frac12\vec x-\vec y.\]

Ответ: \(\overrightarrow{BO}=\frac12\vec x+\frac12\vec y\); \(\overrightarrow{BP}=\frac12\vec x+\vec y\); \(\overrightarrow{PA}=\frac12\vec x-\vec y\).