4. На заводе выпускают насосы для колодцев, из них 2% выходят со сборочной линии со скрытым дефектом. При контроле качества продукции выявляется 95% дефектных насосов. Остальные насосы поступают в продажу. Постройте дерево возможных вариантов и найдите вероятность того, что произведённый насос окажется в продаже.

Question

4. На заводе выпускают насосы для колодцев, из них 2% выходят со сборочной линии со скрытым дефектом. При контроле качества продукции выявляется 95% дефектных насосов. Остальные насосы поступают в продажу. Постройте дерево возможных вариантов и найдите вероятность того, что произведённый насос окажется в продаже.

Фото задания

Accepted Answer

Решение:

Обозначим:

Д — насос имеет дефект.
Н — насос не имеет дефекта.
В — насос выявлен при контроле.
П — насос поступает в продажу (не выявлен при контроле).

Исходные данные:

Вероятность дефекта: \( P(Д) = 0.02 \).
Вероятность отсутствия дефекта: \( P(Н) = 1 - 0.02 = 0.98 \).
Вероятность выявить дефект, если он есть: \( P(В|Д) = 0.95 \).
Вероятность не выявить дефект, если он есть (т.е. он поступит в продажу с дефектом): \( P(П|Д) = 1 - P(В|Д) = 1 - 0.95 = 0.05 \).
Вероятность выявить дефект, если его нет (ложное срабатывание): \( P(В|Н) = ? \).
Вероятность не выявить дефект, если его нет (т.е. он поступит в продажу без дефекта): \( P(П|Н) = ? \).

Построение дерева возможных вариантов:

Первый уровень (наличие дефекта):

Ветвь 1: Дефект (Д) с вероятностью \( 0.02 \).
Ветвь 2: Нет дефекта (Н) с вероятностью \( 0.98 \).

Второй уровень (результат контроля):

От Д:

Контроль выявил дефект (В): \( P(В|Д) = 0.95 \).
Контроль НЕ выявил дефект (П — дефектный насос в продаже): \( P(П|Д) = 0.05 \).

От Н:

Контроль выявил дефект (В — ложное срабатывание): \( P(В|Н) = ? \).
Контроль НЕ выявил дефект (П — исправный насос в продаже): \( P(П|Н) = ? \).

Проблема: В условии не указано, какой процент исправных насосов пропускают как дефектные (ложное срабатывание контроля), и какой процент исправных пропускают как исправные (чтобы в итоге поступить в продажу).

Предположение (на основе логики задачи): Обычно, если контроль качества выявляет 95% дефектных насосов (из общего числа дефектных), то оставшиеся 5% дефектных попадают в продажу. Логично предположить, что исправные насосы (которых 98%) проходят контроль практически все. Если бы процент ложных срабатываний был велик, это сильно снизило бы процент насосов, поступающих в продажу.

Давайте сделаем разумное предположение, что все исправные насосы (98%) проходят контроль и поступают в продажу как исправные. То есть, вероятность выявить дефект у исправного насоса (ложное срабатывание) равна 0, и, соответственно, вероятность, что исправный насос будет пропущен как исправный, равна 1.

\( P(В|Н) = 0 \)

\( P(П|Н) = 1 \)

Дерево:

S (Начало)

→ Д (0.02)

→ В (0.95) (Дефектный, выявлен)
→ П (0.05) (Дефектный, в продаже)

→ Н (0.98)

→ В (0) (Исправный, выявлен как дефектный - ложное срабатывание)
→ П (1.00) (Исправный, в продаже)

Найдём вероятность того, что произведённый насос окажется в продаже.

Насос оказывается в продаже (событие П) двумя путями:

Насос был дефектным, но контроль его не выявил (Д → П).
Насос был исправным, и контроль его не выявил (Н → П).

Вероятность первого пути: \( P(Д \text{ и } П) = P(Д) \times P(П|Д) = 0.02 \times 0.05 = 0.001 \).

Вероятность второго пути: \( P(Н \text{ и } П) = P(Н) \times P(П|Н) = 0.98 \times 1.00 = 0.98 \).

Общая вероятность того, что насос поступит в продажу (событие П), равна сумме вероятностей этих двух несовместных путей:

\[ P(П) = P(Д \text{ и } П) + P(Н \text{ и } П) = 0.001 + 0.98 = 0.981 \]

Ответ: Дерево решений построено. Вероятность того, что произведённый насос окажется в продаже, равна \( 0.981 \).