3. В коробке 12 синих и 8 красных карандашей. По очереди вынимают три карандаша. Найти вероятность того, что два карандаша будут синими.

Решение:

Всего карандашей в коробке: \( 12 \) синих + \( 8 \) красных = \( 20 \) карандашей.

Мы вынимаем 3 карандаша, и нам нужно, чтобы среди них было ровно 2 синих. Это означает, что один карандаш должен быть красным.

Число способов выбрать 2 синих карандаша из 12: \( C_{12}^2 = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66 \).

Число способов выбрать 1 красный карандаш из 8: \( C_8^1 = \frac{8!}{1!(8-1)!} = 8 \).

Число способов выбрать 2 синих и 1 красный карандаш: \( C_{12}^2 \times C_8^1 = 66 \times 8 = 528 \).

Общее число способов выбрать 3 карандаша из 20: \( C_{20}^3 = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 19 \times 6 = 1140 \).

Вероятность того, что два карандаша будут синими:

\( P(\text{2 синих, 1 красный}) = \frac{\text{Число способов выбрать 2 синих и 1 красный}}{\text{Общее число способов выбрать 3 карандаша}} = \frac{528}{1140} \).

Упростим дробь:

\( \frac{528}{1140} = \frac{264}{570} = \frac{132}{285} = \frac{44}{95} \).

Ответ: \(\frac{44}{95}\).