3. В коробке 12 синих и 8 красных карандашей. По очереди вынимают три карандаша. Найти вероятность того, что два карандаша будут красными.

Решение:

Всего карандашей в коробке: \( 12 \) синих + \( 8 \) красных = \( 20 \) карандашей.

Нас интересует событие, когда из трёх вынутых карандашей два будут красными, а один — синим.

Существует два способа посчитать эту вероятность:

Способ 1: Через комбинации

Общее число способов выбрать 3 карандаша из 20:

\[ C_{20}^3 = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20!}{3!17!} = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 19 \times 6 = 1140 \]

Число способов выбрать 2 красных карандаша из 8:

\[ C_{8}^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28 \]

Число способов выбрать 1 синий карандаш из 12:

\[ C_{12}^1 = \frac{12!}{1!(12-1)!} = \frac{12!}{1!11!} = 12 \]

Число способов выбрать 2 красных и 1 синий карандаш:

\[ 28 \times 12 = 336 \]

Вероятность события:

\[ P(\text{2 красных, 1 синий}) = \frac{336}{1140} = \frac{28}{95} \]

Способ 2: Через последовательность событий (с учётом порядка)

Возможны три сценария: ККС, КСК, СКК (где К — красный, С — синий).

1. ККС:

Вероятность вынуть первый красный: \( \frac{8}{20} \)

Вероятность вынуть второй красный (после первого красного): \( \frac{7}{19} \)

Вероятность вынуть синий (после двух красных): \( \frac{12}{18} \)

Вероятность ККС: \( \frac{8}{20} \times \frac{7}{19} \times \frac{12}{18} = \frac{2}{5} \times \frac{7}{19} \times \frac{2}{3} = \frac{28}{285} \).

2. КСК:

Вероятность вынуть первый красный: \( \frac{8}{20} \)

Вероятность вынуть синий (после первого красного): \( \frac{12}{19} \)

Вероятность вынуть второй красный (после красного и синего): \( \frac{7}{18} \)

Вероятность КСК: \( \frac{8}{20} \times \frac{12}{19} \times \frac{7}{18} = \frac{2}{5} \times \frac{12}{19} \times \frac{7}{18} = \frac{168}{1710} = \frac{28}{285} \).

3. СКК:

Вероятность вынуть синий: \( \frac{12}{20} \)

Вероятность вынуть первый красный (после синего): \( \frac{8}{19} \)

Вероятность вынуть второй красный (после синего и красного): \( \frac{7}{18} \)

Вероятность СКК: \( \frac{12}{20} \times \frac{8}{19} \times \frac{7}{18} = \frac{3}{5} \times \frac{8}{19} \times \frac{7}{18} = \frac{168}{1710} = \frac{28}{285} \).

Общая вероятность — сумма вероятностей всех трёх сценариев:

\[ \frac{28}{285} + \frac{28}{285} + \frac{28}{285} = 3 \times \frac{28}{285} = \frac{28}{95} \]

Ответ: \( \frac{28}{95} \).