4. Начертите угол AOB и с помощью транспортира проведите луч OC так, чтобы луч OA являлся биссектрисой угла BOC. Всегда ли это выполнимо?

Чтобы OA была биссектрисой угла BOC, лучи OB и OC должны лежать по разные стороны от OA и образовывать с ним равные углы. Например, начертим \(\angle AOB=40^\circ\), а луч OC проведём по другую сторону от OA под углом 40°.

Тогда \(\angle BOA=\angle AOC=40^\circ\), поэтому OA делит угол BOC на две равные части и является его биссектрисой.

Это выполнимо не всегда: если \(\angle AOB\) — развёрнутый угол (180°), для равенства углов по обе стороны от OA потребовался бы угол \(\angle AOC=180^\circ\), и луч OC совпал бы с лучом OB. Тогда BOC не образует угол с OA внутри него, а OA не является его внутренней биссектрисой.

Ответ: не всегда; при неразвёрнутом угле AOB построить такой луч можно, а при развёрнутом — нельзя.