4. Найдите длину окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной 10 см.

Пояснение:

Окружность, вписанная в правильный треугольник, касается всех трех сторон треугольника. Центр этой окружности (центр вписанной окружности) совпадает с центром правильного треугольника.

Формулы:

Радиус вписанной окружности (r) в правильный треугольник со стороной 'a':

\[ r = \frac{a}{2 \sqrt{3}} \]

Длина окружности (C):

\[ C = 2 \pi r \]

Решение:

Дано: сторона правильного треугольника a = 10 см.

1. Находим радиус вписанной окружности:

\[ r = \frac{10}{2 \sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} \]\text{ см} \qquad \text{(можно также умножить числитель и знаменатель на } \sqrt{3} \text{, получив } r = \frac{5\sqrt{3}}{3} \text{ см})

Находим длину окружности:

\[ C = 2 \pi r = 2 \pi \times \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{10 \pi}{\sqrt{3}} \]\text{ см}

Если оставить корень в знаменателе, то длина окружности будет \frac{10 \pi}{\sqrt{3}} \text{ см}.

Если привести к более стандартному виду (избавиться от иррациональности в знаменателе):

\[ C = \frac{10 \pi}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{10 \pi \sqrt{3}}{3} \]\text{ см}

Ответ: Длина вписанной окружности равна \frac{10 \pi}{\sqrt{3}} \text{ см} или \frac{10 \pi \sqrt{3}}{3} \text{ см}.