4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1 на отрезке [4; 5]

4. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1 \) на отрезке \( [4; 5] \):

1. Найдем производную функции: \( f'(x) = (2x^3 - 3x^2 - 12x + 1)' = 6x^2 - 6x - 12 \>.
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 6x^2 - 6x - 12 = 0 \>.
3. Разделим уравнение на 6: \( x^2 - x - 2 = 0 \>.
4. Решим квадратное уравнение: \( x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \>.
5. Получим критические точки: \( x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \> и \( x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 \>.
6. Обе критические точки \( x=2 \) и \( x=-1 \) не принадлежат заданному отрезку \( [4; 5] \>.
7. Следовательно, наибольшее и наименьшее значения функции будут достигаться на концах отрезка.
8. Вычислим значения функции на концах отрезка:
   • При \( x = 4 \): \( f(4) = 2(4)^3 - 3(4)^2 - 12(4) + 1 = 2(64) - 3(16) - 48 + 1 = 128 - 48 - 48 + 1 = 33 \>.
   • При \( x = 5 \): \( f(5) = 2(5)^3 - 3(5)^2 - 12(5) + 1 = 2(125) - 3(25) - 60 + 1 = 250 - 75 - 60 + 1 = 116 \>.

Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке \( [4; 5] \) равно 116 (при \( x=5 \)), а наименьшее значение равно 33 (при \( x=4 \>).