4. Найдите площадь боковой и полной поверхности правильной треугольной пирамиды, у которой радиус окружности, описанной около основания, равен 2√3 см, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, равен √13 см.

У правильного треугольника радиус описанной окружности R и сторона a связаны соотношением \(R=\frac{a}{\sqrt{3}}\). Поэтому \(a=2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=6\) см.

Радиус вписанной в основание окружности равен половине радиуса описанной: \(r=\frac{R}{2}=\sqrt{3}\) см. Отрезок от вершины пирамиды до центра основания является её высотой: \(h=\sqrt{13}\) см.

Апофема пирамиды — высота боковой грани. По теореме Пифагора \(l=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{13+3}=4\) см.

Площадь боковой поверхности: \(S_{бок}=\frac{1}{2}\cdot 3a\cdot l=\frac{1}{2}\cdot18\cdot4=36\) см².

Площадь основания: \(S_{осн}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}\) см². Тогда \(S_{полн}=S_{бок}+S_{осн}=36+9\sqrt{3}\) см².

Ответ: площадь боковой поверхности — 36 см²; площадь полной поверхности — \(36+9\sqrt{3}\) см².