4. Найдите решение системы: 1) {x+y+z=1, x+y-z=2, y+z=3;} 2) {x+y+z=6, x+y-z=4, x-y-z=0}

4. Решение систем трех уравнений

1)

1. Из третьего уравнения: {y+z=3}.


2. Подставим это в первое уравнение:

{x+(y+z)=1} → {x+3=1} → {x = -2}

1. Теперь имеем:

{x+y+z=1}
{x+y-z=2}
{y+z=3}
{x=-2}

1. Подставим {x=-2} во второе уравнение:

{-2+y-z=2} → {y-z=4}

1. Теперь решим систему из двух уравнений с y и z:

{y+z=3}
{y-z=4}

• Сложим уравнения:

{(y+z)+(y-z)=3+4} → {2y=7} → {y=7/2}

• Подставим {y=7/2} в уравнение {y+z=3}:

{7/2+z=3} → {z=3-7/2} → {z=(6-7)/2} → {z=-1/2}

1) Ответ: x = -2, y = 7/2, z = -1/2.

2)

1. Сложим первое и второе уравнения:

{(x+y+z)+(x+y-z)=6+4} → {2x+2y=10} → {x+y=5}

1. Измененное первое уравнение: {x+y=5}.


2. Подставим {x+y=5} в первое уравнение:

{5+z=6} → {z=1}

1. Теперь подставим {z=1} во второе уравнение:

{x+y-1=4} → {x+y=5} (это совпадает с полученным ранее, что хорошо)

1. Подставим {z=1} в третье уравнение:

{x-y-1=0} → {x-y=1}

1. Теперь решим систему из двух уравнений с x и y:

{x+y=5}
{x-y=1}

• Сложим уравнения:

{(x+y)+(x-y)=5+1} → {2x=6} → {x=3}

• Подставим {x=3} в уравнение {x+y=5}:

{3+y=5} → {y=2}

2) Ответ: x = 3, y = 2, z = 1.