4. Найдите значение выражения \( \frac{(9a^4)^5 \cdot (3a)^6}{(27a^6)^4} \) при \( a = \frac{2}{3} \).

Решение:

Упростим выражение:

\( \frac{(9a^4)^5 \cdot (3a)^6}{(27a^6)^4} = \frac{9^5 \cdot (a^4)^5 \cdot 3^6 \cdot a^6}{(27)^4 \cdot (a^6)^4} = \frac{(3^2)^5 \cdot a^{20} \cdot 3^6 \cdot a^6}{(3^3)^4 \cdot a^{24}} = \frac{3^{10} \cdot a^{20} \cdot 3^6 \cdot a^6}{3^{12} \cdot a^{24}} = \frac{3^{10+6} \cdot a^{20+6}}{3^{12} \cdot a^{24}} = \frac{3^{16} \cdot a^{26}}{3^{12} \cdot a^{24}} = 3^{16-12} \cdot a^{26-24} = 3^4a^2 \)

Теперь подставим значение \( a = \frac{2}{3} \):

\( 3^4 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 81 \cdot \frac{4}{9} = \frac{81 \cdot 4}{9} = 9 \cdot 4 = 36 \)

Ответ: 36.