4. Найти наибольшую и наименьшую длины волн в видимой области спектра излучения атома водорода.

Решение:

Видимая область спектра излучения атома водорода соответствует переходам электрона на вторую орбиту ($$n=2$$). Длина волны излучения определяется формулой:

\[ \frac{1}{\lambda} = R_y \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \]

где $$R_y \approx 1.097 \times 10^7 \text{ м}^{-1}$$ — постоянная Ридберга, $$n_f$$ — номер конечной орбиты, $$n_i$$ — номер начальной орбиты.

Наибольшая длина волны соответствует наименьшей разности энергий, то есть переходу с самой близкой орбиты ($$n_i=3$$) на орбиту $$n_f=2$$:

\[ \frac{1}{\lambda_{max}} = R_y \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R_y \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R_y \left( \frac{9-4}{36} \right) = R_y \frac{5}{36} \]\[ \lambda_{max} = \frac{36}{5 R_y} = \frac{36}{5 \times 1.097 \times 10^7} \approx 6.56 \times 10^{-7} \text{ м} = 656 \text{ нм} \]

Наименьшая длина волны соответствует наибольшей разности энергий, то есть переходу с орбиты $$n_i \to \infty$$ на орбиту $$n_f=2$$:

\[ \frac{1}{\lambda_{min}} = R_y \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R_y \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = \frac{R_y}{4} \]\[ \lambda_{min} = \frac{4}{R_y} = \frac{4}{1.097 \times 10^7} \approx 3.64 \times 10^{-7} \text{ м} = 364 \text{ нм} \]

Ответ: Наибольшая длина волны ≈ 656 нм, наименьшая длина волны ≈ 364 нм.